极地求积仪（Polar planimeter）

极地求积仪（Polar Planimeter）是一种基于极坐标原理测量平面图形面积的机械装置，其核心结构通过旋转运动与径向位移的协同工作实现面积积分。

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一、核心组件与功能

1. 极臂（Polar Arm）
   • 可绕固定支点（极点）旋转的刚性杆，一端连接探针，另一端安装计数机构。
   • 作用：引导探针沿图形边界运动，同时传递径向位移至计数系统。
2. 探针（Stylus/Tracer）
   • 安装在极臂末端，用于接触并跟踪待测图形的边界。
   • 探针的运动轨迹驱动极臂旋转和径向滑动。
3. 计数轮与齿轮组（Measuring Wheel & Gears）
   • 计数轮通过摩擦或齿轮啮合记录极臂的径向位移（即探针到极点的距离变化）。
   • 齿轮组将极臂的角位移与径向位移结合，转化为面积数值（基于极坐标积分公式）。
4. 支点与导轨（Pivot & Guide）
   • 固定支点作为极臂的旋转中心，确保极臂在平面内自由旋转。
   • 部分设计中可能包含线性导轨，约束极臂的径向运动方向。
5. 弹簧或配重系统
   • 用于平衡探针与极臂的惯性力，保持探针与图形边界的稳定接触。

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二、工作原理

1. 极坐标积分法
   • 当探针沿图形边界移动时，极臂的角位移（θ）和径向位移（r）被同步记录。
   • 根据极坐标面积公式：

     Area=12∫(r2) dθArea=21​∫(r2)dθ

     计数轮通过机械积分累加 r2⋅dθr2⋅dθ，最终结果需乘以常数 1221​ 得到面积。

2. 运动分解
   • 旋转运动：极臂绕支点旋转，对应角位移θ。
   • 径向运动：探针在图形边界上的径向收缩或扩展，对应r的变化。
   • 两者通过齿轮组耦合，实现 r2⋅dθr2⋅dθ 的自动累加。

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三、结构特点

1. 极坐标适应性
   • 专为极坐标系设计，适合测量圆形、扇形或对称性图形，效率高于直角坐标系求积仪。
2. 机械积分简化
   • 通过齿轮比和计数轮直径的预设，直接输出面积值，无需手动计算积分。
3. 闭合路径自校准
   • 当探针完成闭合路径时，极臂回到初始角度，累计误差被自动抵消。

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四、历史与发展

• 极地求积仪由德国数学家 Jacob Amsler 于19世纪改进设计，早期用于地形图面积测量。
• 现代电子版本（如数字极坐标求积仪）通过编码器替代机械齿轮，提升精度和自动化水平。

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五、典型应用

1. 地理测绘：快速计算不规则地块或湖泊的面积。
2. 工程制图：验证曲线围成区域的面积（如齿轮齿廓、建筑轮廓）。
3. 教育演示：直观展示极坐标积分原理。